打完新冠疫苗第一針后咳嗽厲害是可以吃藥的，可在醫生指導下用有止咳化痰等功效的藥物來治療。

一、打完新冠疫苗第一針后出現劇烈咳嗽，可以在醫生指導下服用止咳糖漿或止咳化痰顆粒等藥物。這些藥物止咳效果較好，且通常不會影響疫苗接種后的效果。同時要多喝水，這對緩解咳嗽有幫助。

1.止咳糖漿：是一類藥物的統稱，有多種不同的類型，如氨溴索止咳糖漿等。不同的止咳糖漿成分和作用機制有所不同，但都能在一定程度上緩解咳嗽癥狀。

2.止咳化痰顆粒：常見的有小兒止咳化痰顆粒等，能幫助減輕咳嗽并促進痰液排出。

二、接種完新冠疫苗后要多留意身體狀況，若出現明顯不適應及時就醫處理。

總之，打完新冠疫苗第一針后咳嗽可合理用藥治療，同時要密切關注身體變化，有異常及時處理。